Filip Bednarek pochodzi z Kleczewa, a z Polski wyjechał w wieku 15 lat i na miejsce swojego piłkarskiego rozwoju wybrał Holandię, a konkretnie akademię FC Twente. Dla seniorskiego zespołu rozegrał jedno spotkanie w ramach Ligi Europy. W 2012 roku stanął między słupkami w przegranym starciu ze szwedzkim Helsingborgs (1:3). Kolejnym przystankiem w jego karierze był FC Utrecht, w którego barwach zadebiutował w Eredivisie. Wydarzyło się to w 2016 roku, a przeciwnikiem było NEC Nijmegen. Co ciekawe, w kolejnej kolejce zagrał przeciwko Ajaxowi Amsterdam, a jednego z goli strzelił mu Arkadiusz Milik.

Jednak najlepsze były dla niego dwa sezony spędzone na zapleczu holenderskiej ekstraklasy w De Graafschap, gdzie na pozycji bramkarza był niekwestionowanym numerem jeden i rozegrał łącznie 81 spotkań, zachowując 21 razy czyste konto. Jego dobra postawa zaowocowała transferem do sc Heerenveen, ale miejsce w podstawowym składzie tego zespołu wywalczył sobie dopiero na początku tego roku. W lutym i marcu zdążył rozegrać sześć meczów w Eredivisie oraz ćwierćfinał Pucharu Holandii przeciwko Feyenoordowi Rotterdam. Bednarek nie zaliczy już w tych rozgrywkach więcej gier, ponieważ w związku z pandemią koronawirusa liga holenderska zakończyła sezon. Jak już wspomniał sam Filip prywatnie jest on starszym bratem Jana, czyli byłego środkowego obrońcy Lecha, a obecnie zawodnika angielskiego FC Southampton.